РЕШУ ЦТ — математика ЦЭ

Задания

Задание № 172 Добавить в вариант

Сложность: III

Тригонометрические уравнения

Найдите количество корней уравнения $32 синус 2x плюс 8 косинус 4x=23$ на промежутке $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Решим уравнение:

$32 синус 2x плюс 8 косинус 4x=23 равносильно 32 синус 2x плюс 8 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате 2x правая круглая скобка =23 равносильно$
$равносильно 32 синус 2x плюс 8 минус 16 синус в квадрате 2x=23 равносильно 16 синус в квадрате 2x минус 32 синус 2x плюс 15=0.$ $32 синус 2x плюс 8 косинус 4x=23 равносильно 32 синус 2x плюс 8 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате 2x правая круглая скобка =23 равносильно$
$равносильно 32 синус 2x плюс 8 минус 16 синус в квадрате 2x=23 равносильно$
$равносильно 16 синус в квадрате 2x минус 32 синус 2x плюс 15=0.$ $32 синус 2x плюс 8 косинус 4x=23 равносильно$
$равносильно 32 синус 2x плюс 8 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате 2x правая круглая скобка =23 равносильно$
$равносильно 32 синус 2x плюс 8 минус 16 синус в квадрате 2x=23 равносильно$
$равносильно 16 синус в квадрате 2x минус 32 синус 2x плюс 15=0.$

Сделаем замену: $t= синус 2x, t принадлежит левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка .$ Тогда:

$16t в квадрате минус 32t плюс 15=0 равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ,t= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Первый корень не удовлетворяет условию замены, следовательно,

$синус 2x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений 2x= арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,2x= Пи минус арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,x= дробь: числитель: Пи минус арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z конец совокупности . .$ $синус 2x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений 2x= арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,2x= Пи минус арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,x= дробь: числитель: Пи минус арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z конец совокупности . .$

Отметим, что $арксинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби \approx 49 градусов.$ Рассмотрим значения x при различных значениях n:

$n= минус 1: совокупность выражений x= дробь: числитель: 49 градусов, знаменатель: 2 конец дроби минус 180 градусов,x= дробь: числитель: 180 градусов минус 49 градусов, знаменатель: 2 конец дроби минус 180 градусов . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус 155,5 градусов принадлежит левая квадратная скобка минус Пи , дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка ,x= минус 114,5 градусов принадлежит левая квадратная скобка минус Пи , дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка . конец совокупности .$

$n=0: совокупность выражений x= дробь: числитель: 49 градусов, знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: 180 градусов минус 49 градусов, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=24,5 градусов принадлежит левая квадратная скобка минус Пи , дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка ,x=65,5 градусов принадлежит левая квадратная скобка минус Пи , дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка . конец совокупности .$

$n=1: совокупность выражений x= дробь: числитель: 49 градусов, знаменатель: 2 конец дроби плюс 180 градусов \notin левая квадратная скобка минус Пи , дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка ,x= дробь: числитель: 180 градусов минус 49 градусов, знаменатель: 2 конец дроби плюс 180 градусов \notin левая квадратная скобка минус Пи , дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка . конец совокупности .$

Таким образом, на промежутке $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка$ 4 корня.

Ответ: 4.

Ответ: 4

172

Сложность: III

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	172	4